擂台游戏

题目描述:

小 S 想要举办一场擂台游戏，如果共有 $2^k$ 名选手参加，那么游戏分为 $k$ 轮进行：

- 第一轮编号为 $1,2$ 的选手进行一次对局，编号为 $3,4$ 的选手进行一次对局，以此类推，编号为 $2^k-1,2^k$ 的选手进行一次对局。
- 第二轮在只保留第一轮的胜者的前提下，相邻的两位依次进行一场对局。
- 以此类推，第 $k-1$ 轮在只保留第 $k-2$ 轮的 $4$ 位胜者的前提下，前两位、后两位分别进行对局，也就是所谓的半决赛。
- 第 $k$ 轮即为半决赛两位胜者的决赛。

确定了游戏晋级的规则后，小 S 将比赛的规则设置为了擂台赛。具体而言，每位选手都有一个能力值 $a_1,a_2,\dots ,a_{2^k}$，能力值为 $[0,2^{31}-1]$ 之内的整数。对于每场比赛，会先抽签决定一个数 $0/1$，我们将第 $R$ 轮的第 $G$ 场比赛抽到的数记为 $d_{R,G}$。抽到 $0$ 则表示表示编号小的选手为擂主，抽到 $1$ 则表示编号大的选手为擂主。擂主获胜当且仅当他的能力值 $a\ge R$。也就是说，游戏的胜负只取决于擂主的能力值与当前比赛是第几轮的大小关系，与另一位的能力值无关。

现在，小 S 先后陆续收到了 $n$ 位选手的报名信息，他们分别告知了小 S 自己的能力值。小 S 会按照报名的先后顺序对选手进行编号为 $1,2,\dots ,n$。小 S 关心的是，补充尽量少的选手使总人数为 $2$ 的整次幂，且所有选手进行一次完整的擂台游戏后，所有可能成为总冠军的选手的**编号之和**是多少。

形式化地，设 $k$ 是最小的非负整数使得 $2^k\ge n$，那么应当补充 $(2^k-n)$ 名选手，且补充的选手的能力值可以任取 $[0,2^{31}-1]$ 之内的整数。如果补充的选手有可能取胜，也应当计入答案中。

当然小 S 觉得这个问题还是太简单了，所以他给了你 $m$ 个询问 $c_1,c_2,\dots ,c_m$。小 S 希望你帮忙对于每个 $c_i$ 求出，在只收到前 $c_i$ 位选手的报名信息时，这个问题的答案是多少。

输入格式:

共输出 $T$ 行，对于每组数据，设 $A_i$ 为第 $i$（$1\le i\le m$）组询问的答案，你只需要输出一行包含一个整数，表示 $(1\times A_1)\oplus (2\times A_2)\oplus \cdots \oplus (m\times A_m)$ 的结果。

样例输入:

样例1
5 5
0 0 0 0 0
5 4 1 2 3
1001
10
1
4
2 1 0 0
1 2 1 0
0 2 3 1
2 2 0 1

样例输出:

样例1
5
19
7
1

下载附加文件

提示:

【样例 1 解释】

共有 $T=4$ 组数据，这里只解释第一组。$5$ 名选手的真实能力值为 $[1,0,0,2,1]$。$5$ 组询问分别是对长度为 $5,4,1,2,3$ 的前缀进行的。

1. 对于长度为 $1$ 的前缀，由于只有 $1$ 号一个人，因此答案为 $1$。
2. 对于长度为 $2$ 的前缀，由于 $2$ 个人已经是 $2$ 的幂次，因此不需要进行扩充。根据抽签 $d_{1,1}=1$ 可知 $2$ 号为擂主，由于 $a_2<1$，因此 $1$ 号获胜，答案为 $1$。
3. 对于长度为 $3$ 的前缀，首先 $1$ 号、$2$ 号比赛是 $1$ 号获胜（因为 $d_{1,1}=1$，故 $2$ 号为擂主，$a_2<1$），然后虽然 $4$ 号能力值还不知道，但 $3$ 号、$4$ 号比赛一定是 $4$ 号获胜（因为 $d_{1,2}=0$，故 $3$ 号为擂主，$a_3<1$），而决赛 $1$ 号、$4$ 号谁获胜都有可能（因为 $d_{2,1}=1$，故 $4$ 号为擂主，如果 $a_4<2$ 则 $1$ 号获胜，$a_4\ge 2$ 则 $4$ 号获胜）。综上所述，答案为 $1+4=5$。
4. 对于长度为 $4$ 的前缀，我们根据上一条的分析得知，由于 $a_4\ge 2$ ，所以决赛获胜的是 $4$ 号。
5. 对于长度为 $5$ 的前缀，可以证明，可能获胜的选手包括 $4$ 号、$7$ 号、$8$ 号，答案为 $19$。

因此，该组测试数据的答案为 $(1\times 19)\oplus (2\times 4)\oplus (3\times 1)\oplus (4\times 1)\oplus (5\times 5)=5$。

【样例 2】

见选手目录下的 arena/arena2.in 与 arena/arena2.ans。

这组样例满足特殊性质 A。

【样例 3】

见选手目录下的 arena/arena3.in 与 arena/arena3.ans。

这组样例满足特殊性质 B。

【样例 4】

见选手目录下的 arena/arena4.in 与 arena/arena4.ans。

【样例 5】

见选手目录下的 arena/arena5.in 与 arena/arena5.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据，保证：$2\le n,m\le {10}^5$，$0\le a_i,X_j<2^{31}$，$1\le c_i\le n$，$1\le T\le 256$。

| 测试点 | $T=$ | $n,m\le$ | 特殊性质 A | 特殊性质 B |
| :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: |
| $1\sim 3$ | $1$ | $8$ | 否 | 否 |
| $4,5$ | $1$ | $500$ | 是 | 否 |
| $6\sim 8$ | $1$ | $500$ | 否 | 是 |
| $9,10$ | $1$ | $5000$ | 否 | 否 |
| $11,12$ | $1$ | ${10}^5$ | 是 | 否 |
| $13\sim 15$ | $1$ | ${10}^5$ | 否 | 是 |
| $16,17$ | $4$ | ${10}^5$ | 否 | 否 |
| $18,19$ | $16$ | ${10}^5$ | 否 | 否 |
| $20,21$ | $64$ | ${10}^5$ | 否 | 否 |
| $22,23$ | $128$ | ${10}^5$ | 否 | 否 |
| $24,25$ | $256$ | ${10}^5$ | 否 | 否 |

特殊性质 A：保证询问的 $c_i$ 均为 $2$ 的幂次。

特殊性质 B：保证所有的 $d_{R,G}=0$。

时间限制: 1000ms
空间限制: 512MB

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来源: CSP2024提高T4