题目

一元二次方程

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题目描述:

众所周知，对一元二次方程 \(ax ^ 2 + bx + c = 0, (a \neq 0)\)，可以用以下方式求实数解：

- 计算 \(\Delta = b ^ 2 - 4ac\)，则:

1. 若 \(\Delta < 0\)，则该一元二次方程无实数解。

2. 否则 \(\Delta \geq 0\)，此时该一元二次方程有两个实数解 \(x _ {1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt \Delta}{2a}\)。

例如：

- \(x ^ 2 + x + 1 = 0\) 无实数解，因为 \(\Delta = 1 ^ 2 - 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0\)。

- \(x ^ 2 - 2x + 1 = 0\) 有两相等实数解 \(x _ {1, 2} = 1\)。

- \(x ^ 2 - 3x + 2 = 0\) 有两互异实数解 \(x _ 1 = 1, x _ 2 = 2\)。

在题面描述中 \(a\) 和 \(b\) 的最大公因数使用 \(\gcd(a, b)\) 表示。例如 \(12\) 和 \(18\) 的最大公因数是 \(6\)，即 \(\gcd(12, 18) = 6\)。

现在给定一个一元二次方程的系数 \(a, b, c\)，其中 \(a, b, c\) **均为整数且 \(a \neq 0\)**。你需要判断一元二次方程 \(a x ^ 2 + bx + c = 0\) 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数 \(v\) 时须遵循以下规则：

- 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 \(p\) 和 \(q\)，满足 \(q > 0\)，\(\gcd(p, q) = 1\) 且 \(v = \frac pq\)。

- 若 \(q = 1\)，**则输出 `{p}`，否则输出 `{p}/{q}`**，其中 `{n}` 代表整数 \(n\) 的值；

- 例如：

- 当 \(v = -0.5\) 时，\(p\) 和 \(q\) 的值分别为 \(-1\) 和 \(2\)，则应输出 `-1/2`；

- 当 \(v = 0\) 时，\(p\) 和 \(q\) 的值分别为 \(0\) 和 \(1\)，则应输出 `0`。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

1. 若 \(\Delta = b ^ 2 - 4ac < 0\)，则表明方程无实数解，此时你应当输出 `NO`；

2. 否则 \(\Delta \geq 0\)，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 \(x\)，则：

1. 若 \(x\) 为有理数，则按有理数的格式输出 \(x\)。

2. 否则根据上文公式，\(x\) 可以被**唯一**表示为 \(x = q _ 1 + q _ 2 \sqrt r\) 的形式，其中：

- \(q _ 1, q _ 2\) 为有理数，且 \(q _ 2 > 0\)；

- \(r\) 为正整数且 \(r > 1\)，且不存在正整数 \(d > 1\) 使 \(d ^ 2 \mid r\)（即 \(r\) 不应是 \(d ^ 2\) 的倍数）；

此时：

1. 若 \(q _ 1 \neq 0\)，则按有理数的格式输出 \(q _ 1\)，并再输出一个加号 `+`；

2. 否则跳过这一步输出；

随后：

1. 若 \(q _ 2 = 1\)，则输出 `sqrt({r})`；

2. 否则若 \(q _ 2\) 为整数，则输出 `{q2}*sqrt({r})`；

3. 否则若 \(q _ 3 = \frac 1{q _ 2}\) 为整数，则输出 `sqrt({r})/{q3}`；

4. 否则可以证明存在唯一整数 \(c, d\) 满足 \(c, d > 1, \gcd(c, d) = 1\) 且 \(q _ 2 = \frac cd\)，此时输出 `{c}*sqrt({r})/{d}`；

上述表示中 `{n}` 代表整数 `{n}` 的值，详见样例。

如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 `NO`。

输入格式:

输入的第一行包含两个正整数 \(T, M\)，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

输出格式:

输出 \(T\) 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

样例输入:

样例输出:

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

提示:

【数据范围】

对于所有数据有：\(1 \leq T \leq 5000\)，\(1 \leq M \leq 10 ^ 3\)，\(|a|,|b|,|c| \leq M\)，\(a \neq 0\)。

| 测试点编号 | \(M \leq\) | 特殊性质 A | 特殊性质 B | 特殊性质 C |
| :-: | :-: | :-: | :-:| :-:|
| \(1\) | \(1\) | 是 | 是 | 是 |
| \(2\) | \(20\) | 否 | 否 | 否 |
| \(3\) | \(10 ^ 3\) | 是 | 否 | 是 |
| \(4\) | \(10 ^ 3\) | 是 | 否 | 否 |
| \(5\) | \(10 ^ 3\) | 否 | 是 | 是 |
| \(6\) | \(10 ^ 3\) | 否 | 是 | 否 |
| \(7, 8\) | \(10 ^ 3\) | 否 | 否 | 是 |
| \(9, 10\) | \(10 ^ 3\) | 否 | 否 | 否 |

其中：

- 特殊性质 A：保证 \(b = 0\)；
- 特殊性质 B：保证 \(c = 0\)；
- 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

时间限制: 1000ms
空间限制: 512MB

来源: CSP2023普及T3