题目

一元二次方程

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题目描述:

众所周知，对一元二次方程

a x^{2} + b x + c = 0, (a \neq 0)

，可以用以下方式求实数解：

- 计算

Δ = b^{2} - 4 a c

，则:

1. 若

Δ < 0

，则该一元二次方程无实数解。

2. 否则

Δ \geq 0

，此时该一元二次方程有两个实数解

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

。

例如：

x^{2} + x + 1 = 0

无实数解，因为

Δ = 1^{2} - 4 \times 1 \times 1 = - 3 < 0

。

x^{2} - 2 x + 1 = 0

有两相等实数解

x_{1, 2} = 1

。

x^{2} - 3 x + 2 = 0

有两互异实数解

x_{1} = 1, x_{2} = 2

。

在题面描述中

a

和

b

的最大公因数使用

gcd (a, b)

表示。例如

12

和

18

的最大公因数是

6

，即

gcd (12, 18) = 6

。

现在给定一个一元二次方程的系数

a, b, c

，其中

a, b, c

**均为整数且

a \neq 0

**。你需要判断一元二次方程

a x^{2} + b x + c = 0

是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数

v

时须遵循以下规则：

- 由有理数的定义，存在唯一的两个整数

p

和

q

，满足

q > 0

，

gcd (p, q) = 1

且

v = \frac{p}{q}

。

- 若

q = 1

，**则输出 `{p}`，否则输出 `{p}/{q}`**，其中 `{n}` 代表整数

n

的值；

- 例如：

- 当

v = - 0.5

时，

p

和

q

的值分别为

- 1

和

2

，则应输出 `-1/2`；

- 当

v = 0

时，

p

和

q

的值分别为

0

和

1

，则应输出 `0`。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

1. 若

Δ = b^{2} - 4 a c < 0

，则表明方程无实数解，此时你应当输出 `NO`；

2. 否则

Δ \geq 0

，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为

x

，则：

1. 若

x

为有理数，则按有理数的格式输出

x

。

2. 否则根据上文公式，

x

可以被**唯一**表示为

x = q_{1} + q_{2} \sqrt{r}

的形式，其中：

q_{1}, q_{2}

为有理数，且

q_{2} > 0

；

r

为正整数且

r > 1

，且不存在正整数

d > 1

使

d^{2} ∣ r

（即

r

不应是

d^{2}

的倍数）；

此时：

1. 若

q_{1} \neq 0

，则按有理数的格式输出

q_{1}

，并再输出一个加号 `+`；

2. 否则跳过这一步输出；

随后：

1. 若

q_{2} = 1

，则输出 `sqrt({r})`；

2. 否则若

q_{2}

为整数，则输出 `{q2}*sqrt({r})`；

3. 否则若

q_{3} = \frac{1}{q_{2}}

为整数，则输出 `sqrt({r})/{q3}`；

4. 否则可以证明存在唯一整数

c, d

满足

c, d > 1, gcd (c, d) = 1

且

q_{2} = \frac{c}{d}

，此时输出 `{c}*sqrt({r})/{d}`；

上述表示中 `{n}` 代表整数 `{n}` 的值，详见样例。

如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 `NO`。

输入格式:

输入的第一行包含两个正整数 $T, M$ ，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

输出格式:

输出 $T$ 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

样例输入:

样例输出:

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

提示:

【数据范围】

对于所有数据有： $1 \leq T \leq 5000$ ， $1 \leq M \leq 10^{3}$ ， $| a |, | b |, | c | \leq M$ ， $a \neq 0$ 。

| 测试点编号 | $M \leq$ | 特殊性质 A | 特殊性质 B | 特殊性质 C |
| :-: | :-: | :-: | :-:| :-:|
| $1$ | $1$ | 是 | 是 | 是 |
| $2$ | $20$ | 否 | 否 | 否 |
| $3$ | $10^{3}$ | 是 | 否 | 是 |
| $4$ | $10^{3}$ | 是 | 否 | 否 |
| $5$ | $10^{3}$ | 否 | 是 | 是 |
| $6$ | $10^{3}$ | 否 | 是 | 否 |
| $7, 8$ | $10^{3}$ | 否 | 否 | 是 |
| $9, 10$ | $10^{3}$ | 否 | 否 | 否 |

其中：

- 特殊性质 A：保证 $b = 0$ ；
- 特殊性质 B：保证 $c = 0$ ；
- 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

时间限制: 1000ms
空间限制: 512MB

来源: CSP2023普及T3